Déterminer la valeur de cos pi/8 - Corrigé

Énoncé

1. Soit \(z=x+iy\) et \(z^2=a+ib\) les formes algébriques de  \(z\) et \(z^2\) . Montrer que, si \(\left\vert z \right\vert=1\) , alors  \(x^2=\dfrac{1+a}{2}\)   et   \(y^2=\dfrac{1-a}{2}\) .

2. On pose \(x=\cos\dfrac{\pi}{8}\)   et \(y=\sin\dfrac{\pi}{8}\) (ainsi, \(z=x+iy\) est de module 1).  Donner la forme trigonométrique de \(z^2\) et en déduire les valeurs de \(\cos\dfrac{\pi}{8}\) et de  \(\sin\dfrac{\pi}{8}\) .

Solution

1. On suppose que \(\left\vert z \right\vert=1\) , donc \(\left\vert z \right\vert^2=1\) , c'est-à-dire \(x^2+y^2=1\) .

• D'une part : \(z^2=a+ib\) .
  
• D'autre part : \(z=x+iy\) donc \(z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy\) .
  
• Par unicité de la forme algébrique, on en déduit que :
  \(\begin{align*}\left\lbrace \begin{array}{l}x^2-y^2=a \\ 2xy=b\end{array} \right.\end{align*}\)

Comme `x^2+y^2=1` et `x^2-y^2=a` , on obtient :

• en additionnant ces deux égalités : `2x^2=1+a` , c'est-à-dire `x^2=\frac{1+a}{2}` ;
  
• en soustrayant ces deux égalités : `2y^2=1-a` , c'est-à-dire `y^2=\frac{1-a}{2}` .
  

2.  On a `z=1\left(\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}\right)` donc \(\left\vert z \right\vert=1\) et \(\arg(z) \equiv \frac{\pi}{8} \ [2\pi]\) .

On en déduit que : 
\(\begin{align*}\left\vert z^2 \right\vert=\left\vert z \right\vert^2=1^2=1\ \ \text{ et } \ \\arg(z^2)\equiv 2\arg(z)\equiv 2 \times \frac{\pi}{8}\equiv \frac{\pi}{4} \ [2\pi]\end{align*}\)
donc la forme trigonométrique de \(z^2\) s'écrit :
\(\begin{align*}z^2=1\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right).\end{align*}\)

On en déduit que la forme algébrique de \(z^2\) est :
\(\begin{align*}z^2=\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}}.\end{align*}\)

En utilisant la question 1, on a alors :
\(\begin{align*}\left(\cos\frac{\pi}{8}\right)^2=(\text R\text e(z))^2=\frac{1+\text R\text e(z^2)}{2}=\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}=\frac{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}}{2}=\frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}\end{align*}\)
et  \(\begin{align*}\left(\sin\frac{\pi}{8}\right)^2=(\text I\text m(z))^2=\frac{1-\text R\text e(z^2)}{2}=\frac{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}=\frac{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}}{2}=\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}\end{align*}\)
donc, comme \(\frac{\pi}{8} \in \left[0 \ ; \frac{\pi}{2} \right]\) , on a :
\(\begin{align*}\cos\frac{\pi}{8}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\ \ \text{ et } \ \\sin\frac{\pi}{8}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}.\end{align*}\)